我向老板提议离开，现在半个月的工资没有支付，没有签订劳动合同

在您向老板提议离职后，老板若仍拒绝支付您半个月的工资，您申请劳动仲裁时可依据《中华人民共和国劳动法》第五十条的规定，即工资应当以货币形式按月支付给劳动者本人，不得克扣或者无故拖欠劳动者的工资。同时，根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第五条，发生劳动争议，当事人不愿协商、协商不成或者达成和解协议后不履行的，可以向调解组织申请调解；不愿调解、调解不成或者达成调解协议后不履行的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。因此，您有权申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
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从法律角度看，未签订劳动合同并不影响劳动关系的成立。您可以通过以下证据来证明与用人单位的劳动关系：如工作证、服务证、考勤记录、银行流水等工资支付凭证或记录、缴纳社会保险费的记录、同事证言等。这些证据能够证明您与用人单位之间存在实际的用工行为，从而确认劳动关系。
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除了申请劳动仲裁，您还可以尝试以下途径解决被拖欠工资的问题：1.与用人单位协商解决，明确工资支付的时间和方式；2.向当地劳动监察部门投诉，由其介入调查并督促用人单位支付工资；3.若用人单位存在违法行为，如未签订劳动合同等，您还可以向有关部门举报，要求其承担法律责任。